Problem
위수가 35인 가환군 $G$의 모든 원소가 방정식 $x^{35}=e$를 만족한다고 하자. $G$가 순환군임을 증명하라.
Answer
각 원소의 위수는 1, 5. 7. 35 중 하나일 수밖에 없다.
위수가 1인 원소는 한 개이다. ($e$)
위수가 5인 원소의 개수는 4의 배수이다. 즉 $4n$개이다.
왜냐하면 $a$의 위수가 5라면 $a^2, a^3, a^4$도 위수가 5이기 때문이다.
같은 원리로 위수가 7인 원소는 $6m$이다.
위수가 5인 원소와 7인 원소를 곱하면 위수가 35가 된다.
따라서 위수가 35인 원소의 개수는 최소 $24mn$개이다. 또한 위수가 35인 원소의 개수는 24의 배수여야 한다.
$24mn+24o$개라고 하자.
모두 합하면 $1+4n+6m+24mn+24o=35$이다.
이를 만족시키는 정수는 $n=1, m=1, o=0$밖에 없다.
위수가 35인 원소가 존재하고 군의 위수도 35이므로 $G$는 순환군이다.
만약 35를 33으로 바꾼다면?
$1+2n+10m+20mn+20o=33$를 만족시키는 건 $n=1, m=1, o=0$ 말고도 $n=16, m=0, o=0$도 존재한다.
따라서 증명하기에 조금 부족하다.
여기서 코시의 정리가 개입한다면 증명을 완성할 수 있다. 다만 이 연습문제는 코시의 정리를 배우기 이전 단원의 문제이다.
코시의 정리에 의해 $m, n$는 둘 다 1 이상이어야 한다. 이러면 후자의 경우는 탈락한다.
코시의 정리를 이용한다면 증명은 훨씬 간단해지는데, 35의 경우로 돌아오면 위수가 5인 원소와 7인 원소가 둘다 존재하므로 35인 원소도 존재한다는 결론에 바로 도달한다.
코시의 정리를 쓰지 않고 33의 경우를 증명해보자.
$m=0$인 상황을 가정해보는 것이다. 즉 위수가 11인 원소가 없다면?
증명은 제미나이의 답변으로 대체하겠다.
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