왕도를 찾아서

Excercise 14.57Prove that $\mathbb{Z}$ is a principal ideal domain.Proof.Let $I$ be an ideal of $\mathbb{Z}$. By the Well-Ordering Principle, pick the smallest natural number $a$ in $I$. Since $I$ is an ideal, $a\mathbb{Z}\subset I$. Assume for contradiction that there exists $b\in I$ such that $b\not\in a\mathbb{Z}$. There exists $b'$ such that $b=an+b' (n\in\mathbb{Z},\ 0

Excercises 9.59 from Gallian's Comteporary Abstract Algebra Exercise 9.59Let N be a normal subgroup of G. Show that if N is a cyclic group, then all subgroups of N are normal subgroups of G.Proof.For all $x\in G, n\in N$, there exists $n'\in N$ such that $xnx^{-1}=n'$. Let $M$ be a subgroup of $N$ and $m\in M$. Then there exists $n_m$ such that $xmx^{-1}=n_m$. Since $M$ is a subgroup of a cyclic..

If $\gcd (s,t)=1$, then $U_s(st)\cong U(t)$Proof. Let $f:U_s(st)\to U(t)$, $f(x)= x\ \text{mod}t$. i) $f$ is well-defined$x\in U_s(st)$$\Rightarrow \text{gcd}(x,st)=1$$\Rightarrow \text{gcd}(x,t)=1$$\Rightarrow \text{gcd}(f(x),t)=1$$\Rightarrow f(x)\in U(t)$ii) $f$ is a bijection ($f^{-1}$ is well-defined)$y\in U(t)$$\Rightarrow \text{gcd}(y,t)=1$Let $0\le k$f^{-1}(y)\ \text{mod} t=y\Rightarrow\..

Excercises 7.60-7.63 from Gallian's Comteporary Abstract Algebra (English version solution at the end) 7.60$A_5$가 위수 $12$인 부분군을 가짐을 증명하여라.$A_4$는 $A_5$의 부분군이며 위수가 $12$이다.7.61$A_5$가 위수 $30$인 부분군을 갖지 않음을 증명하여라.$H$가 $|H|=30$인 $A_5$의 부분군이라고 가정하자. 그렇다면 $|HA_4|=\frac{|H||A_4|}{|H\cap A_4|}=\frac{360}{|H\cap A_4|}$이다. 이 크기는 전체 집합인 $A_5$의 크기를 넘어설 수 없으니 $|H\cap A_4|$는 $6$ 이상이어야 한다. 또한, $H\cap A_4$는 $H$와 $..

7.10본 게시글은 현대대수학 바이블 교재 연습문제 7.10번에 대한 풀이입니다.Let $G$ be a group of order $155$ and $a, b$ be non-identity elements with distinct orders. Prove that the only subgroup of $G$ that contains $a, b$ is $G$ itself.Let $H$ be a subgroup of $G$ that contains $a, b$. Then, it should contain $, $.$|a|, |b|$ can only be only if $5, 31, 155$ by Lagrange's Theorem.Case 1)One of $|a|$ and $ |b|$ is $155$, say..

Q. 위수가 4인 군은 모두 가환군임을 증명하라. A.위수가 4인 원소가 존재한다면 군은 순환군이므로 가환군이다. 그런 원소가 없다고 해보자. 그럼 위수가 1인 원소(항등원)과 위수가 2인 원소 3개 $a, b, c$가 있을 것이다. 이때 $a, b, c$ 전부 위수가 2이므로 자기 자신이 역원이다. $ab$는 $c$일 수밖에 없다. $a$와 $b$는 둘 다 항등원이 아니고 술은 서로 역원 관계도 아니기 때문에 $e, a, b$는 될 수 없기 때문이다. 같은 원리로 $ba$도 $c$이다. 같은 논리를 $b, c$ 그리고 $c, a$에 대해서도 적용하면 $ab=ba, bc=cb, ca=ac$이므로 군은 가환군이다.

The number of elements of order $k$ in an abelian group.i) Cyclic GroupIn a cyclic group of order $N$, there exist $\phi(k)$ elements of order $k$ if $k$ divides $N$ and $0$ if not.Proof.Let $G=$ and $|a^m|=\frac{N}{\text{gcd}(N,m)}=k$, then $\text{gcd}(N,m)=N/k$. If $k$ divides $N$, $N/k|m, m=pN/k$. $\text{gcd}(N,pN/k)=N/k$, $\text{gcd}(k,p)=1$. So there exist $\phi(k)$ $p$'s, meaning there exi..

$|a|=m, |b|=n,k=\text{gcd}(m,n)$, Then $|ab|=\frac{mn}{k^2}i$ for some $i$ such that $i|k$.Proof.Let $c=|ab|$.$(ab)^{mn/k}=(a^m)^{n/k}(b^n)^{m/k}=e$, $c|\frac{mn}{k}$.$e=(ab)^{cm}=(a^m)^{c}b^{cm}=b^{cm}$, $n|cm$, $\frac{n}{k}|c\frac{m}{k}$, $\text{gcd}(\frac{n}{k},\frac{m}{k})=1 \rightarrow \frac{n}{k}|c$. By the same logic, $\frac{m}{k}|c$, $\frac{nm}{k^2}|c$.Conclusion. $\frac{nm}{k^2}|c|\frac..

Problem 위수가 35인 가환군 $G$의 모든 원소가 방정식 $x^{35}=e$를 만족한다고 하자. $G$가 순환군임을 증명하라. Answer각 원소의 위수는 1, 5. 7. 35 중 하나일 수밖에 없다.위수가 1인 원소는 한 개이다. ($e$)위수가 5인 원소의 개수는 4의 배수이다. 즉 $4n$개이다.왜냐하면 $a$의 위수가 5라면 $a^2, a^3, a^4$도 위수가 5이기 때문이다.같은 원리로 위수가 7인 원소는 $6m$이다.위수가 5인 원소와 7인 원소를 곱하면 위수가 35가 된다. 따라서 위수가 35인 원소의 개수는 최소 $24mn$개이다. 또한 위수가 35인 원소의 개수는 24의 배수여야 한다.$24mn+24o$개라고 하자.모두 합하면 $1+4n+6m+24mn+24o=35$이다.이를 만족..

Components and Partitions1. PartitionsLet $X$ be a space. A partition of $X$ is the collection of disjoint subspaces of $X$ such that the union equals $X$. Example: $[0,1]$ and $(1,2]$ are partitions of $[0,2]$.Example: $[0,1]$ and $[1,2]$ are not partitions because they are not disjoint.2. ComponentsComponents are equivalence classes by defining the equivalence relation $\sim$ so that $x\sim y$..