첫 번째 레슨, Open set이란? (실해석학에서)

Open set이 정의하는 것은 가장 기초적인 것을 정하는 단계이다.

 

위상수학이라는 과목에서는 Open set이 뭐냐는 우리에 정하기 나름이다.

Topology라는 용어는 위상수학 자체를 의미하는 용어이기도 하지만

Open set들의 집합을 뜻하는 말이기도 하다.

 

전체집합을 {1, 2}라고 볼 때

전체집합의 부분집합은 총 4개가 될 것이다. -> {}, {1}, {2}, {1, 2} 

이 중 {1}만 Open set(열린 집합)이라고 정의한다면

그 때 Topology는 {1}만을 원소로 가지는 집합이다. -> {{1}}

 

하지만 이건 첫 번째 레슨에서 배우기엔 너무 광범위한 서술이다.

우리가 고등학교까지 배워온 수학적 공간, 1+1=2가 되고 실수가 무수히 존재하며, 원의 반지름은 일정하고, 직사각형의 네 각은 모두 직각인, 그런 세계.

 

한 단어로 표현하면 유클리드 공간이라고 부르는 이런 수학세계에서는

 

Open set을 이렇게 정의한다:

E is open ⇔ ∀ p∈E, p is an interior point of E

 

E가 열린 집합이면, E의 모든 원소 p는 E의 interior point(내점/안점)이다.

 

참고로 영어 수학 용어의 한글 번역은 대한수학회가 정리해놓은 웹사이트 https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html 에서 확인할 수 있다.

 

그럼 이제 interior point가 뭔지 궁금할 것이다.

 

p is an interior point of E ⇔ ∃B(p,r)⊂E

 

그럼 이제 B(p,r)이 뭔지 궁금할 것이다.

B(p,r) = { x∈X | d(x,p)<r }

 

그럼 이제 d(x,p)가 뭔지 궁금할 것이다.

d는 두 점 사이의 거리를 뜻한다.

우리가 유클리드 공간을 이야기한다고 했으니까 우리가 알고있는 그 거리를 생각하면 된다.

이를 테면 실수 집합에서 2와 5 사이의 거리는 3이고, 1과 -9 사이의 거리는 10이고...

 

이차원 실수 집합에서 (0,0)과 (3,4) 사이의 거리는 (피타고라스 정리를 이용하면) 5이고 ... 등등

 

거리라는 개념 자체가 유클리드 공간에서 이야기하는 것이기 때문에 정의를 할 수 있는 것이다.

확장된 Topology 개념을 배우게 된다면 거리라는 것을 정의할 수가 없게 될 수도 있다.

 

그럼 다시, B(p,r)은 뭘까? 점 p를 중심으로 거리가 r 미만인 점들의 집합이다. 이걸 두고 neighborhood(근방)이라는 용어를 쓰기도 한다.

여기서 B는 Ball에서 따온 것이다. 간단히 이차원 공간을 생각해보자. 한 점으로부터 r 미만 거리의 점들은? 원의 내부가 될 테니까!

 

그럼 interior point는 다시 생각해서, E 내부 어떤 점 p에 대해 p를 중심으로 E의 부분집합인 B(p,r)를 어떻게든 그릴 수만 있으면 된다.

이차원 공간에서 생각하면 이런 상황인 거다.

B(p,r)가 존재만 하면 되니까 r의 값은 작은 것으로 찾을수록 좋겠지?

 

이러면 점 p는 E의 interior point인 거다.

점 q는 E의 interior point일까?

 

그럴 수 없다.

r을 아무리 작게 그려도 B(q,r)이 E의 부분집합이 될 수 없기 때문이다.

B(q,r)은 어떻게 그려도 E 외부를 벗어남

 

 

그럼 다시 처음으로 돌아와 Open set의 정의를 가져와보자.

E is open ⇔ ∀ p∈E, p is an interior point of E

 

E의 모든 원소가 E의 interior point이어야 E가 open set이다.

그럼 만약 E가 open set이라면 q 점과 같이, E의 경계선에 있는 점들은 E에 포함에 되지 않는다.

 

고등학교 수준에서 배우는 열린 집합의 정의와 일맥상통하지 않는가? 경계에 있는 점들은 포함하지 않는 집합.

 

(3, 5) 과 같은 집합 - 여기서 (3, 5)는 { x | 3<x<5 } 라는 집합을 뜻한다.

또는 { (x, y) | x^2+y^2<25 } 와 같은 집합