두 번째 레슨, Closed Set이란? (실해석학에서)

고등학교 수준에서 닫힌 집합은 아마 이렇게 배울 것이다:

[3, 5]와 같이 경계가 포함된 범위의 집합, 여기서 [3, 5]는 { x | 3≤x≤5 } 집합을 뜻한다.

 

맞는 설명이긴 한데, 해석학에서 닫힌 집합의 정의는 좀 다르다.

E is closed ⇔ ∀ limit point p of E, p ∈ E

 

E의 모든 limit point가 E의 원소면 된다.

 

그렇다면 limit point란 무엇이냐?

 

p is a limit point of E ⇔ ∀r>0, [ B(p,r) \ {p} ] ∩ E ≠ ∅

 

p를 중심으로 하는 반지름이 r인 neighborhood에서 p점을 제외한 집합과, E의 교집합은 공집합이 아니다.

그림과 같이 q점을 중심으로 한 neoghboor를 r을 어떻게 잡든 E과 교집합이 공집합일 수 없다. 따라서 q점은 E의 limit point이다.

같은 원리로 E 내부에 있는 r 점 역시 E의 limit point이다.

반면, 점 s는? r을 충분히 작게 잡으면 E과 교집합이 공집합이다. 따라서 limit point가 아니다.

 

이런 limit point들을 전부 원소로 가지면 E는 닫힌 집합이 된다.

 

닫힌 집합의 예시를 들어보자:

 

{3}이라는 집합을 보자. 점 p가 3이면 p점을 제외한 p의 neighborhood는 E와 교집합이 공집합일 수밖에 없다. E에는 p점 하나만 들어있기 때문이다. 점 p가 3이 아니면 r을 |3-p|보다 작게 잡으면 된다. 따라서 집합 {3}은 limit point가 없다. 즉, 모든 limit point를 원소를 가진다. (애초에 limit point 없기 때문에)

 

원소를 하나만 가지는 집합은 limit point가 없음을 알았다.

 

그럼 {3, 5, 8} 이런 것도 closed set임을 증명하는 건 쉽다.

 

원소의 개수가 유한개인 집합은 그럼 전부 closed set일까?

같은 원리로 증명할 수 있으니 인터넷의 다른 사용자가 올린 글의 링크를 첨부하겠다: https://math.stackexchange.com/questions/280993/prove-that-if-s-is-a-finite-set-then-s-has-no-limit-points

Prove that if $S$ is a finite set then $S$ has no limit points.

 

특이한 방법으로도 증명할 수 있는데 다음 정리를 통해 알아보자.

 

정리: p가 E의 limit point이면 p의 모든 neighborhood과 E의 교집합은 원소가 무한 개이다.

증명: 반지름이 x인 어떤 p의 neighborhood와 E의 교집합의 원소가 유한 개라고 가정해보자 (귀류법)

그럼 그 유한 개의 원소들 중 p와의 거리가 가장 작은 것을 q라고 하자.

반지름을 d(p, q)보다 작게 잡으면, p의 neighboorhood과 E의 교집합은 공집합이 된다.

이는 p가 limit point라는 가정에 모순이다. (limit point의 정의를 생각하기)

따라서 정리가 증명되었다.

 

-> limit point의 neighborhood와 E의 교집합은 원소가 무한 개여야 하는데, 애초에 E의 원소가 유한 개이면 불가능하잖아?

따라서 원소의 개수가 유한 개인 집합은 전부 closed set이다.

 

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open set과 closed set은 무슨 관계인가?

closed set은 open set의 여집합이다.

반대로 open set는 closed set의 여집합이다.

 

이 관계를 증명할 수 있을까?

E가 closed set 이면 여집합 E가 open set이고, 그 역도 성립함을 증명하자.

 

E is closed ⇔ E의 원소가 아닌 모든 p는 E의 limit point가 아니다.

⇔ 어떤 r에 대해 B(p,r)\{p} ∩ E = ∅

⇔ 어떤 r에 대해 B(p,r) ∩ E = ∅ (p는 E의 원소가 아니므로)

⇔ 어떤 r에 대해 B(p,r) ⊂ 여집합 E

⇔ p는 여집합 E의 interior point

⇔ 여집합 E는 open

 

E의 원소가 아니면 (즉, 여집합 E의 원소이면) 여집합 E의 interior point가 된다는 것을 증명했다.

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정리:

E가 open: E의 모든 원소가 interior point

E가 closed: E의 모든 limit point가 원소

 

둘의 순서가 반대인 것에 주목.

E가 closed라고 해서 모든 원소가 limit point이어야 하는 것도 아니다.

차이가 있으니 헷갈리지 않도록 주의해야 한다.

(음.. 또한 E가 open이라고 해서 모든 interior point가 원소이어야 하는 건 아니다...만 interior point는 정의상 E의 원소일 수밖에 없다)