Limit point 이해하기

Limit(극한)의 정의를 살펴봅시다.

고등학교 수준에서는 너무 깊이 들어가면 복잡하기만 하니 당연히 간편하게 ~~에 가까워진다 정도로만 배웠겠지만 (엡실론 델타 논법도 고등학교 수준에선 배우지 않는다)

엡실론 델타 논법을 배웠다면 정확한 정의를 아는 게 중요하다.

극한이 존재하기 위한 조건들이 있기 때문이다.

 

그러기 위해선 다음 것들이 존재해야 한다.

1. 함수 f

2. 집합 X

3. 집합 E (E⊂Y, E는 f의 정의역)

3. 집합 Y(f의 공역)

4. X는 거리함수가 있어야 한다.

5. Y는 거리함수가 있어야 한다.

6. E의 limit point인 p에 대해서 엡실론 델타 논법을 사용하면 p에서 극한값이 존재한다고 말할 수 있다.

 

X를 정의역으로 안하고 왜 굳이 E를 정의역으로 잡냐면

f(x)=x/x 같은 함수를 생각해보자.

정의역은 {x|x≠0}이다.

이때 당연히 X는 실수 전체 집합이라고 생각하면 된다.

 

이제 알았겠지만, 함수의 극한값이 p에서 존재하려면, p가 꼭 그 함수의 정의역에 포함될 필요는 없다.

f(x)가 0에서 극한값이 존재한다.

이는 0은 정의역의 limit point이기 때문이다.

 

limit point는 이름에서 알 수 있듯 limit과 관련이 깊다.

간단히 이해해서 어떤 함수의 limit이 존재할 수 있는 그런 점들을 limit point라고 이해하면 되겠다.

반대로 limit point가 아니면 limit도 존재할 수가 없다.

정의역이 {x|x=0 or x>1}인 함수 f(x)=x에서 x=0에서 극한이 존재하는가? 아니다.