[증명] partition into pieces is unique (covering map)

Proposition

Let $p:E\rightarrow B$ be continuous and surjective. Suppose that $U$ is an open set of $B$ that is evenly covered by $p$. Show that if $U$ is connected, then the partition of $p^{-1}(U)$ into pieces is unique.

Proof.

Let $x_0\in p^{-1}(U)$, and $\{V_{\alpha}\}$ and $\{W_{\alpha}\}$ be two possible partition of $p^{-1}(U)$ into pieces. Then $x_0\in V_0$ and $x_0\in W_0$ for some $V_0$ and $W_0$. $p|_{V_0}:V_0\rightarrow U$ is a homeomorphism, and $U$ is connected so $V_0$ is connected. By the same logic, $W_0$ is also connected. $V_0$ and $W_0$ has a point, $x_0$ in common, so $V_0\cup W_0$ is connected. Now, for some $\beta\in V_0$, $\beta\in W_\beta$ for some $W_\beta$. By the same logic, $V_0\cup W_\beta$ is connected for all $\beta$. $\cup_{\beta\in V_0} \{V_0\cup W_\beta\}=\cup_{\beta\in V_0} \{W_\beta\}$ is connected because all of $V_0\cup W_\beta$ share a point, $x_0$ in common. This concludes that $W_\beta=W_0$ for all $\beta$ because else, $W_\beta, W_0$ would be a seperation of $\cup_{\beta\in V_0} \{W_\beta\}$, making it not connected.

For all $\beta\in V_0$, $\beta\in W_0$, so $V_0\subset W_0$. But $V_0$ is disjoint with $p^{-1}(U)-V_0$ so disjoint with $W_0-V_0$ Therefore, $V_0=W_0$. This holds for all elements of the partition, and we can conclude the two partitions, $\{V_{\alpha}\}$ and $\{W_{\alpha}\}$ are same.

End of proof.