[증명] Munkres Excercise 54.8

 

Munkres 54.8 

Let $p:E\rightarrow B$ be a covering map. If $B$ is simply connected and $E$ is path connected, then $p$ is a homeomorphism.

Proof.

Let $x_1, x_2\in E$ and $\tilde{f}$ be a path from $x_1$ to $x_2$. Then $f=p\circ\tilde{f}$ is a path from $p(x_1)$ to $p(x_2)$ and by the path lifting theorem, $\tilde{f}$ is the unique path lifting of $f$. 

Now, assume $p(x_1)=p(x_2)$, then $f$ is a loop based at $p(x_1)$. Because $B$ is simply connected, $f\underset{p}{\simeq} e_{p(x_1)}$ where $e_{p(x_1)}$ is the constant path. Then $\tilde{f}\underset{p}{\simeq}e_{x_1}$ by the path homotopy lifting theorem, because $e_{x_1}$ is the unique path lifting of $e_{p(x_1)}$. This concludes that $x_2=\tilde{f}(1)=e_{x_1}(1)=x_1$.

Therefore, $p$ is injective. An injective covering map is a homeomorphism, so $p$ is a homeomorphism.

End of proof.