Q. 위수가 4인 군은 모두 가환군임을 증명하라.
A.
위수가 4인 원소가 존재한다면 군은 순환군이므로 가환군이다. 그런 원소가 없다고 해보자. 그럼 위수가 1인 원소(항등원)과 위수가 2인 원소 3개 $a, b, c$가 있을 것이다. 이때 $a, b, c$ 전부 위수가 2이므로 자기 자신이 역원이다. $ab$는 $c$일 수밖에 없다. $a$와 $b$는 둘 다 항등원이 아니고 술은 서로 역원 관계도 아니기 때문에 $e, a, b$는 될 수 없기 때문이다. 같은 원리로 $ba$도 $c$이다. 같은 논리를 $b, c$ 그리고 $c, a$에 대해서도 적용하면 $ab=ba, bc=cb, ca=ac$이므로 군은 가환군이다.
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