현대대수학 바이블 p7.10

7.10

본 게시글은 현대대수학 바이블 교재 연습문제 7.10번에 대한 풀이입니다.
Let $G$ be a group of order $155$ and $a, b$ be non-identity elements with distinct orders. Prove that the only subgroup of $G$ that contains $a, b$ is $G$ itself.

Let $H$ be a subgroup of $G$ that contains $a, b$. Then, it should contain $<a>, <b>$.

$|a|, |b|$ can only be only if $5, 31, 155$ by Lagrange's Theorem.

Case 1)
One of $|a|$ and $ |b|$ is $155$, say $|a|$. Then, $G$ is a cyclic group. So $<a>=G$, meaning if $H$ contains $a$, it contains $G$.

Case 2)
$|a|, |b|$ are one of $5, 31$. Without loss of generality, say $|a|=31, |b|=5$. Then $b\not\in<a>$ since if it were, $|b|$ should divide $31$ (by Lagrange's Theorem). 

$b^i<a>=b^j<a>$ if and only if $b^{i-j}\in<a>$. Therefore, $<a>, b<a>, b^2<a>, b^3<a>, b^4<a>$ are all disjoint subsets of $G$, contained by $H$. This means $H\supset<a>\cup\ b<a>\cup\ b^2<a>\cup\ b^3<a>\cup\ b^4<a>=G$. Therefore, $H=G$.

 

 

조금 더 쉬운 풀이가 있어서 추가 첨부.

 

Case 2에서 $H$는 $a, b$를 둘 다 원소로 가지기 때문에 $H$의 위수는 $5$의 배수이면서 $31$의 배수여야 함 (라그랑주 정리). 따라서 $H$의 위수는 155임. 끝.